U401-01
FUNZIONE REALE DI VARIABILI REALI
Numeri reali
I numeri interi e frazionari, sia quelli che negativi, e il numero zero si chiamano numeri razionali. Ciascuno numero razionale lo si può esprimere come quoziente $\frac{p}{q}$ di due numeri interi $p$ e $q$. Per esempio: $\frac{2}{3}\,;\, \frac{11}{7}$. In particolare ciascun numero intero può essere considerato come quoziente di numeri interi p e 1, cioè $p=\frac{p}{1}$. Per esempio: $5=\frac{5}{1}$.
I numeri razionali si possono rappresentare tramite frazioni decimali periodiche limitate ed illimitate. I numero espressi con frazioni decimali non periodiche sono chiamati numeri irrazionali come $\sqrt 2$, $\sqrt 3$, $\pi$, $e$...
L'insieme di tutti i numeri razionali ed irrazionali è detto insieme dei numeri reali ed è indicato con il simbolo $\mathbb{R}$. I numeri reali costituiscono un insieme ordinato, ciò significa che per ogni coppia di numeri reali $x$ e $y$ c'è una sola delle relazioni seguenti:
\begin{cases} x < y \\ x = y \\ x > y \end{cases}
I numeri reali possono essere rappresentati con punti su una retta orientata chiamata asse numerico. Si chiama asse numerico una retta infinita sulla quale sono fissati: un punto O chiamato origine; un senso positivo indicato con una freccia; un unità di misura lineare. Di norma consideriamo una retta orizzontale con orientamento da sinistra verso destra per indicare il verso positivo.
L'insieme dei numeri reali è normalmente indicato con il simbolo $\mathbb{R}$, mentre quello dei numeri reali positivi è indicato con $\mathbb{R}^+$, mentre quello dei numeri reali negativi è indicato con $\mathbb{R}^-$. L'insieme dei numero reali senza lo zero è indicato con mentre quello dei numeri reali negativi con $\mathbb{R}^*$.
Dire "qualsisi x appartente all'insieme dei numeri reali" si traduce in simbologia matematica in:
$\forall x \in\ ]-\infty, +\infty[\,$ oppure: $\forall x \in\ \mathbb{R}$.
Notare che i valori $\pm \infty$ sono esclusi dall'intervallo.
Definizione:
Se a ciascuno valore della grandezza variabile $x$, appartenente ad un insieme $E$, corrisponde uno ed un solo valore finito della grandezza $y$, si dice allore che $y$ è una funzione (univoca o mododroma) di $x$, oppure una variabile dipendente definita sull'insieme $E$; $x$ si chiama argomento o variabile indipendente. La relazione «$y$ è funzione di $x$» si esprime brevemente nella maniera seguente: $y=f(x)$(1) .
Esempi di funzioni
Esistono le funzioni già definite come $y=\sqrt x$, $y=sin(x)$, $y=cos(x)$, $y=ln(x)$, $y=e^x$... che possiamo utilizzare per creare funzioni di qualsiasi complessità. Ecco alcuni esempi: $$ f(x)=x^3-3x^2+3x-1 $$ $$ f(x)=x^2lnx $$ $$ f(x)=\frac{x^3\,lnx}{3}-\frac{x^3}{9} $$ $$ f(x)=\frac{2}{\sqrt 3}\,arctg\,\frac{2x+1}{\sqrt 3} $$ $$ f(x)=\frac{1}{2\sqrt{a^2-b^2}}\,ln\,\frac{\sqrt{a+b}+x(\sqrt{a-b})} {\sqrt{a+b}-x(\sqrt{a-b})}+ e^{x^2sin(x)} $$ $\class{note}{Nota}$: $a$ e $b$ sono delle costanti e l'unica variabile è $x$.
_______________________________
1: L'intero paragrafo potrebbe essere scritto nel modo compatto seguente:
$$
\forall\, x\, \in\, E\,|\, \exists\; y\, \in\, F\, /\, y=f(x)
$$
Continuerà...
Ultima modifica: 9 Settembre 2024