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ANALISI MATEMATICA

### U03 - Derivate

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### U03.01 DEFINIZIONI E NOTAZIONI

Il concetto di derivata è, insieme a quello di integrale, uno dei cardini dell'analisi matematica e del calcolo infinitesimale. Il significato pratico di derivata è il tasso di variazione di una certa grandezza presa in considerazione. Un esempio molto noto di derivata è la variazione della posizione di un oggetto rispetto al tempo, chiamata velocità istantanea.

#### Descrizione

La derivata di una funzione $f$ in un punto $x_0$ è il valore del coefficiente angolare della retta tangente alla curva nel punto, cioè la tangente trigonometrica dell'angolo formato dalla tangente in un punto della curva di equazione $f(x)$ e l'asse delle ascisse. Se la derivata di una funzione $f$ in un punto $x_0$ è $f'(x)=0$, la retta tangente al grafico della funzione $f(x)$ è parallela all'asse delle ascisse, mentre se il limite mediante cui si calcola la derivata in un punto $x_0$ è infinito la retta tangente al grafico della funzione $f(x)$ è parallela all'asse delle ordinate. La funzione derivata si ricava con una serie di operazioni algebriche note come regole di derivazione, applicabili universalmente a tutte le funzioni derivabili.

Nel caso di funzioni di più variabili la tangente in un punto alla curva della funzione non è unica, ma varia a seconda della direzione scelta. Non si può più quindi definire una sola funzione delle stesse variabili indipendenti che renda conto della pendenza del grafico della funzione in un punto: si ricorre allora alle derivate parziali della funzione, cioè ai coefficienti angolari di tangenti considerate lungo direzioni parallele agli assi che rappresentano le variabili indipendenti.

Le derivate parziali sono in numero pari alle variabili stesse, e una loro notevole proprietà è che se la funzione è sufficientemente "regolare" (cioè differenziabile) è possibile calcolarne la tangente lungo una direzione qualunque con una combinazione lineare delle derivate parziali stesse. Questo è possibile perché l'operatore di derivazione è un operatore lineare, e quindi la derivata di una combinazione lineare di funzioni derivabili è la combinazione lineare delle derivate delle singole funzioni, e la derivata del prodotto di uno scalare per una funzione è il prodotto dello scalare per la derivata della funzione.

#### Definizione

La nozione di derivata si introduce, nel caso di funzione a una variabile indipendente nel campo reale, considerando una funzione reale $f(x)$ di variabile reale $x$ e un punto $x_0$ del suo dominio. La derivata di $f(x)$ in $x_0$ è definita come il numero $f'(x_0)$ uguale al limite del rapporto incrementale al tendere a 0 dell'incremento, sotto l'ipotesi che tale limite esista e sia finito. In modo esplicito, detto $h$ l'incremento, una funzione $f$ definita in un intorno di $x_0$ si dice derivabile nel punto $x_0$ se esiste ed è finito il limite: $$ f'(x_0) = \lim_{h \to 0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h} \tag{eq. 1} $$ e il valore di questo limite è la derivata della funzione nel punto $x_0$. Se la funzione $f(x)$ è derivabile in ogni punto di un dato intervallo $(a, b)$, allora si dice che essa è derivabile in $(a, b)$ e la funzione $f'\colon x\in (a,b)\to f'(x)$ che associa a ogni punto $x$ la derivata $f'(x)$ di $f(x)$ è la funzione derivata di $f$.

Muovi il punto $x$ per disegnare la funzione derivata $f^{'}(x) \,.$

#### Derivata destra e derivata sinistra

La derivata destra di $f$ in $x_0$ è il numero: $$ f_{+}'(x_0) = \lim_{h \to 0^+}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h} $$

La derivata sinistra di $f$ in $x_0$ è il numero: $$ f_{-}'(x_0) = \lim_{h \to 0^-}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h} $$ Una funzione è derivabile in $x_0$ se e solo se le derivate destra e sinistra esistono, sono finite e uguali. Queste permettono inoltre di definire la derivabilità su un intervallo non aperto: se $f$ è definita ad esempio nell'intervallo chiuso $[a,b]$, si dice che $f$ è derivabile in $[a,b]$ se è derivabile in ogni punto interno $x \in (a,b)$ e se esistono le derivate destra e sinistra rispettivamente negli estremi $x = a$ e $x = b.$

La derivata di una funzione in un punto è il coefficiente angolare della retta tangente alla curva nel punto. Si tratta quindi di un numero che misura la pendenza della retta tangente.

#### Notazioni

La prima notazione di derivata nel punto $x_0$ che compare storicamente è: $$ \left(\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x}\right)_{(x_0)} $$ che ancora oggi è usata in fisica. In alternativa, secondo la notazione di Lagrange è indicata con: $$f'(x_0),$$

secondo la notazione di Cauchy - Eulero la derivata è indicata con: $$\operatorname{D} \left[{f}(x_0)\right],$$

secondo la notazione di Leibniz con: $$\frac{\mathrm{d}f(x_0)}{\mathrm{d}x},$$

e secondo la notazione di Newton con: $$\dot{f}(x_0).$$

#### Continuità e derivabilità

Il teorema di continuità asserisce che se $f(x)$ è derivabile in $x_0$ allora $f(x)$ è anche continua in $x_0.$

Non vale il teorema che si ottiene invertendo le ipotesi con le tesi: ad esempio, la funzione $f(x) = |x|$ è continua su tutto il dominio, ma non è derivabile nel punto $x_0=0$, perché limite destro e limite sinistro del rapporto incrementale non coincidono. La continuità di una funzione è quindi condizione necessaria, ma non sufficiente, per determinarne la derivabilità. Una funzione può inoltre essere derivabile (e quindi continua) in un punto $p$, ma essere discontinua in ogni punto intorno a $p$. Questo accade per funzioni come: $$ f(x)= \begin{cases} 0, \, se \, x\in \mathbb{Q}\\ x^2, \, se \, x\in \mathbb{R}\setminus \mathbb{Q}. \end{cases} $$ essendo $\mathbb{Q}$ l'insieme dei numeri razionali e $\mathbb{R}$ l'insieme dei numeri reali, mentre il simbolo "\" denota la differenza tra insiemi. La funzione in esame ammette derivata in $0$ (vale $0$ il limite del rapporto incrementale) ma non è continua in nessun punto eccetto lo $0$. Notiamo che se invece una funzione è due volte derivabile in un punto, allora è continua in un intorno di quel punto.

Per mostrare che se $f(x)$ è derivabile in $x_0$, allora è continua in $x_0$, si considera l'uguaglianza precedente: $$ f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+o(x-x_0) $$ da qui: \begin{align*} \lim_{x\to x_0}f(x)&=\lim_{x\to x_0}f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+o(x-x_0)\\ &=f(x_0) \end{align*}

Quindi la funzione è continua in $x_0$. La stima lineare della funzione attorno a $x_0$ costituisce una migliore approssimazione rispetto a: $$ f(x)=f(x_0)+o(1) $$ garantita dalla sola continuità [qui $o(1)\underset{x \to x_0}\longrightarrow 0]$. Se la funzione è derivabile in $x_0$, si può "scomporre" l'infinitesimo $o(1)$ in un termine lineare e un infinitesimo di ordine superiore. Il teorema di Lagrange fornisce una diversa approssimazione (sempre lineare) nell'ipotesi che la funzione sia derivabile in un intorno di $x_0$: $$ f(x)=f(x_0)+f'(\xi)(x-x_0) $$

per tutti gli $x$ in tale intorno, e con $\xi$ un dato punto in $(x_0, x)$, o $(x, x_0)$, se è un intorno sinistro. Benché ora l'approssimazione sia "esatta" (non ci sono termini infinitesimi che vengono trascurati), il teorema non è in grado di mostrare per quale $\xi$ sia vera l'uguaglianza.

#### Funzioni non derivabili

Una funzione continua può essere non derivabile. Ad esempio, una funzione continua può non essere derivabile in un punto isolato del dominio, in presenza di un punto angoloso, una cuspide o un flesso a tangente verticale. Esistono anche funzioni continue che presentano forme più complesse di non derivabilità, come ad esempio la funzione di Cantor. La funzione di Weierstrass è una funzione reale di variabile reale che ha la proprietà di essere continua in ogni punto ma di non essere derivabile in nessuno.

#### Regole di derivazione

Siano $f(x)$ e $g(x)$ funzioni reali di variabile reale $x$ derivabili, e sia $\mathrm{D}$ l'operazione di derivazione rispetto a $x$: $$ D[f(x)] = f'(x),\quad D[g(x)]=g'(x).$$

$\class{hint}{1)}$ Regola della somma (linearità): $$ D[\alpha f(x) + \beta g(x)] = \alpha f'(x) + \beta g'(x). $$

$\class{hint}{2)}$ Regola del prodotto (o di Leibniz): $$ D[f(x).g(x)] = f'(x).g(x) + f(x).g'(x). $$

$\class{hint}{3)}$ Regola del quoziente: $$ D \Biggl[ \frac{f(x)}{g(x)}\Biggr] = \frac{f'(x).g(x) - f(x).g'(x)}{g(x)^2}. $$

$\class{hint}{4)}$ Regola della funzione reciproca: $$ D \Biggl[ \frac{1)}{f(x)}\Biggr] = \frac{- f'(x)}{f(x)^2}. $$

$\class{hint}{5)}$ Regola della funzione inversa: $$ D[f^{-1}(y)] = \frac{1}{f'(x)}, $$ con: $$ y=f(x), \quad x=f^{-1}(y). $$

$\class{hint}{6)}$ Regola della catena: $$ D[f(g(x))] = f'(g(x)).g'(x). $$

Continuerà...

Ultima modifica: Aprile 2026