##### Correction Quiz-101

📌 NOTA BENE - Questo è solo un quiz sui prototipi, giusto per avere un'idea su come crearli e utilizzarli. Se ci sono errori, fatecelo sapere.

Domanda N. 1

La funzione \(f(x)=x^2\,Ln|x|\) è il prodotto di due funzioni: \( g(x)=x^2 \) e \( h(x)=Ln|x| \). La prima è definita su tutto l'intervallo \( \unicode{x211D} \), mentre la seconda è definita su \( \unicode{x211D}^* \), cioè \( \unicode{x211D} - \{0\}\). Ma visto che abbiamo per ipotesi \( f(0)=0 \), allora la funzione è definita su tutto \( \unicode{x211D} \).

Domanda N. 2

Si tratta della definizione della funzione logaritmo.

Domanda N. 3

La funzione \( f(x)=\sqrt x \) è continua per $x \ge 0$, ma la sua derivata $f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}$ non è continua nel punto di ascissa $x=0$. Dunque è continua ma non derivabile nel punto $x=0$.

Domanda N. 4

La disuguaglianza vale solo per $x > 0$ per la presenza della funzione $Ln(x)$ che è definita solo per $x > 0$. Vedi figura.

Domanda N. 5

La funzione $\frac{sin\,x}{x^2}$ è equivalente a $\frac{1}{x}$ quando $x \rightarrow 0$. Dunque tenda verso l'$\infty$.

Domanda N. 6

Quando $x \rightarrow +\infty$, la parte della funzione $e^{-x}$ tende verso $0$. Dunque la funzione $f(x)= 1+x + e^{-x}$ tende verso $y=1+x$ nelle vicinanze dell'$\infty$. Quindi, $f(x)$ ha un asintoto obliquo di equazione $y=1+x$.

Domanda N. 7

Questa funzione è del tipo $x{^n}$, con $n=\frac{3}{4}$. Perciò, la sua dérivata è $n\,x{^{n-1}}$...

Domanda N. 8

Poniamo $t=x^2+1$. Così, abbiamo $dt = 2x\,dx \implies xdx=\frac{dt}{2} \implies I=\frac{1}{2}\int\frac{dt}{t}=\frac{1}{2}Ln(t)=\frac{1}{2}Ln(x^2+1)$.

Domanda N. 9

Si tratta del teorema di Rolle.

Domanda N. 10

$$ I=\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{dx}{x^2+1} = \Big[arctg\,x\Big]_{0}^{\frac{\pi}{4}} = 1. $$

Ultima modifica: 24 Decembre 2024