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ANALISI MATEMATICA

### U02 - Limiti

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### U02.01 DEFINIZIONI

Il limite di una funzione $f(x)$ in un punto $x_0$ è il valore al quale tende la funzione all'avvicinarsi del suo argomento $x$ a $x_0$ . Il suo limite è indicato con: $$ l = \lim_{x \to x_0}f(x) \hspace{3cm} \text{(eq. 1)} $$

e si legge il limite di $f(x)$ per $x$ che tende a $x_0$. In altri termini, dire che $\lim f(x)=l$ per $x \to x_0$, significa che quando il valore di $x$ si avvicina a $x_0$, cioè $(x \to x_0)$, il valore $f(x)$ assunto dalla funzione si avvicina a $l$, cioè $f(x) \to l$. Il valore $l$ può essere finito ($l \in \mathbb{R}$), infinito ($\pm \infty$), o non esistere. Il limite rappresenta in un certo senso il comportamento di un oggetto matematico quando una o più variabili del suo dominio tendono ad assumere un determinato valore.

Definizione: La definizione formale di limite stabilisce che se $l$ è il limite di $f(x)$ per $x$ tendente a $x_0$ e che per ogni numero reale $\varepsilon > 0$ esiste un altro numero reale positivo $\delta$ tale che se $0 < |x-x_0| < \delta$ allora $|f(x)-l| < \varepsilon$, o con formalismo puramente matematico:

$$ \forall \hspace{3mm} \varepsilon > 0 \hspace{3mm} \exists\hspace{3mm} \delta > 0 : 0 < |x -x_0| < \delta \Rightarrow |f(x) - l| < \varepsilon $$

che è riassunto dalla scrittura: $$ \lim_{x \to x_0} f(x)=l \hspace{3cm} \text{(eq. 2)}$$

Variare il valore di $\epsilon$ per vedere il suo effetto su $\delta$ e il limite.

#### Estensione al caso infinito

La definizione di limite viene normalmente estesa per considerare anche i casi in cui $x_0$ e/o $l$ sono infiniti.
La funzione $f$ ha limite $+\infty$ in un punto finito $x_0$ se per ogni numero reale $N>0$ esiste un altro numero reale $\delta>0$ tale che $f(x)>N$ per ogni $x$ in $X$ con $0<|x-x_0|<\delta$, ovvero, $$ \forall \hspace{3mm} N > 0 \hspace{3mm} \exists\hspace{3mm} \delta > 0 : 0 < |x -x_0| < \delta \Rightarrow f(x) > N $$ che in maniera più sintetica si scrive: $$ \lim_{x \to x_0}f(x)=+\infty $$

Analogamente si definisce il limite $-\infty$ sostituendo $f(x) > N$ con $f(x) < -N$.

Per definire il limite per $x_{0} \to +\infty$, è ancora necessario che $+\infty$ sia un "punto di accumulazione" per il dominio $X$: questo si traduce nella richiesta che $X$ contenga valori arbitrariamente grandi, cioè che il suo estremo superiore sia infinito: $$ \text{sup} X= +\infty $$

In questo caso, un numero finito $l \in \mathbb{R}$ è limite di $f$ per $x \to +\infty$ se per ogni numero reale $\varepsilon > 0$ esiste un altro numero reale $S >0$ tale che $|f(x)-l| < \varepsilon$ per ogni $x \in X$ con $x > S$ ovvero: $$ \forall \hspace{3mm} \varepsilon > 0 \hspace{3mm} \exists\hspace{3mm} S > 0 : x > S \Rightarrow |f(x) - l| < \varepsilon $$ che in maniera più sintetica è la stessa dell'equazione Eq.1.

Il limite di $f(x)=L$ per $x\to +\infty$

Analogamente si definisce il limite per $x \to -\infty$, sostituendo $x>S$ con $x<-S$.

Resta quindi da esaminare il caso in cui entrambi $x_0$ e $l$ sono infiniti. Se la funzione $f$ ha limite $+\infty$ per $x\to +\infty$, allora per ogni numero reale $N>0$ esiste un altro numero reale $S>0$ tale che $f(x)>N$ per ogni $x>S$, ovvero: $$ \forall \hspace{3mm} N > 0 \hspace{3mm} \exists\hspace{3mm} S > 0 : x > S \Rightarrow f(x) > N $$ che in maniera più sintetica si scrive: $$ \lim_{x \to +\infty}f(x)=+\infty $$ In maniera analoga si definiscono i casi in cui $x_{0}\to -\infty$ e/o $f(x)\to -\infty$.

#### Esempi

Esempio 1: La funzione $f(x) = x^2$ è continua in $x_0 = 3$, perché il suo valore $f(3)=3^2 = 9$ coincide con il valore ottenuto come limite, cioè: $$\lim_{x \to 3}x^2=9$$

Esempio 2: Quanto $x$ diventa molto grande, il valore $1/x$ diventa molto piccolo, e tende quindi a zero, cioè: $$ \lim_{x\to\infty}\frac {1}{x} = 0 $$

Esempio 3: Quando $x$ diventa molto grande, il valore $x^3$ diventa molto grande, e tende quindi a $+\infty$, cioè : $$ \lim_{x\to +\infty} x^3 = +\infty$$

Esempio 4: La funzione seno oscilla indefinitivamente fra $-1$ e $+1$, e quindi non tende a nessun limite preciso per $x\to\infty$. Quest'affermazione si dimostra formalmente grazie al primo teorema delle restrizioni: siccome la restrizione del seno ai valori ${\pi \over 2} + 2k\pi$ è costantemente 1 e la restrizione a $-{\pi \over 2} + 2k\pi$ è costantemente -1, la funzione seno non può ammettere limite globale. Quindi: $$ \lim_{x\to+\infty} \sin x = {\rm indefinito} $$ o più rigorosamente: $$ \nexists \lim_{x\to+\infty} \sin x $$

#### Limite destro, sinistro

Per avere informazioni più precise è a volte utile utilizzare i concetti di limite destro e limite sinistro, definiti tramite la nozione di intorno destro e sinistro.

Un intorno destro di un punto $x_0$ della retta estesa $\mathbb{R}^*$ è un intervallo del tipo $[x_0, x_0+r[$ con $r>0$. Analogamente, un intorno sinistro è un intervallo del tipo $]x_0-r, x_0]$. In particolare, gli intorni di $-\infty$ sono tutti destri e quelli di $+\infty$ sono sinistri.

A questo punto, sia $f:X\to\mathbb{R}$ con $x_0$ punto di accumulazione per $X$. Un valore $l$ della retta estesa è limite destro per $f$ in $x_0$ se per ogni intorno $U$ di $l$ esiste un intorno destro $V^+$ di $x_0$ tale che $f(x)$ appartiene a $U$ per ogni $x \in V^+ \cap X$.

Il limite sinistro è definito in modo analogo. I limiti sinistro e destro (se esistono) vengono descritti rispettivamente come: $$ \lim_{{x \to x_0}^-}f(x)\text{,} \hspace{3mm} \lim_{{x \to x_0}^+}f(x) $$

Vale il risultato seguente: una funzione ha limite in $x_0$ se e soltanto se ha limite destro e sinistro, e questi due limiti sono finiti e coincidono.

La funzione gradino di Heaviside ha un salto in $x_0 = 0$, poiché i limiti sinistro e destro non coincidono. Ad esempio, la funzione gradino $f$ mostrata in figura ha limite sinistro e destro in $x_0 = 0$, ma questi non coincidono, quindi non ha limite in $x_0 = 0$: $$ \lim_{{x \to x_0}^-}f(x)=0\text{,} \hspace{3mm} \lim_{{x \to x_0}^+}f(x)=1 $$

Le nozioni di limite per difetto e per eccesso vengono definite in modo analogo, sostituendo l'intorno $U$ di $l$ con intorni destri e sinistri. I limiti per difetto e per eccesso (se esistono) possono essere indicati con un piccolo abuso di linguaggio nel modo seguente: $$ l^+ = \lim_{{x \to x_0}^+}f(x)\text{,} \hspace{3mm} l^- = \lim_{{x \to x_0}^-}f(x) $$

#### Proprietà di base

##### Limitatezza locale

Per il teorema di limitatezza locale, una funzione che ha limite finito in $x_0$ è limitata in un intorno di $x_0$, ovvero esistono un numero $K>0$ e un intorno $V$ di $x_0$ tale che $|f(x)| < K$ per ogni $x$ del dominio contenuto in $V$.

D'altra parte, una successione limitata in un intorno di $x_0$ non ha necessariamente limite in $x_0$. La funzione a gradino è ovunque limitata, ma non ha limite in zero.

##### Permanenza del segno

Per il teorema di permanenza del segno, se una funzione ha limite $l > 0$ strettamente positivo in $x_0$, allora assume valori strettamente positivi per ogni $x$ sufficientemente vicino a $x_0$. In altre parole, esiste un intorno $V$ $x_0$ tale che $f(x) > 0$ per ogni $x$ del dominio in $V$ diversa da $x_0$.

Analogamente, una funzione che ha limite $l < 0$ strettamente negativo ha valori strettamente negativi per tutti gli $x$ sufficientemente vicini a $x_0$. Una funzione che ha limite $l = 0$ può assumere vicino a $x_0$ valori di entrambi i segni (ad esempio la funzione $f(x) = x$ con $x_0=0$).

#### Confronto fra funzioni

Siano $f$ e $g$ due funzioni definite su un dominio $X$, con $x_0$ punto di accumulazione per $X$. Se $f(x) \geq g(x)$ per ogni $x$ del dominio in un intorno $V$ di $x_0$, e se entrambe le funzioni hanno limite in $x_0$, allora vale: $$ \lim_{x \to x_0}f(x) \ge \lim_{x \to x_0}g(x) $$

Questo risultato è ottenuto applicando il teorema di permanenza del segno alla differenza $f-g$.

##### Teorema del confronto

Il teorema del confronto (o dei carabinieri) asserisce che una funzione "stretta fra due successioni" convergenti allo stesso limite converge anch'essa a questo limite. Formalmente, se $f, g$ e $h$ sono tre funzioni definite su un dominio $X$ con punto di accumulazione $x_0$, tali che: $$ f(x) \le g(x) \le h(x) $$

per ogni $x\neq x_0$ del dominio in un intorno di $x_0$, e tali che: $$ \lim_{x \to x_0}f(x) = \lim_{x \to x_0}h(x) = l $$ allora anche: $$ \lim_{x \to x_0}g(x)=l $$

#### Operazioni con i limiti

Funzioni aventi lo stesso dominio possono essere sommate o moltiplicate. In molti casi è possibile determinare il limite della funzione risultante dai limiti delle singole funzioni.

Siano $f$ e $g$ due funzioni con lo stesso dominio $X$, e $x_0$ un punto di accumulazione per $X$. Se esistono i limiti: $$ \lim_{x \to x_0}f(x)=l1\text{,} \hspace{3mm} \lim_{x \to x_0}g(x)=l2 $$ allora: $$ \bullet \lim_{x \to x_0}(c \cdot f(x)) = c \cdot l_1 \qquad \forall c \in \mathbb{R} $$ $$ \bullet \lim_{x\to x_0}(f(x) \pm g(x)) = l_1 \pm l_2 $$ $$ \bullet \lim_{x \to x_0}(f(x).g(x) = l_1.l_2 $$ $$ \bullet \lim_{x \to x_0}\frac{1}{f(x)} = \frac{1}{l_1} \qquad \text{se}\ l_1 \neq 0 $$ $$ \bullet \lim_{x \to x_0}\frac{f(x)}{g(x)} = \frac{l_1}{l_2} \qquad \text{se}\ l_2 \neq 0 $$

Alcune delle uguaglianze elencate sono estendibili ai casi in cui $l_1$ e/o $l_2$ sia infinito.

#### Forme di limiti indeterminati

Esistono alcune forme di limite dove non è possibile concludere direttamente utilizzando operazioni sui limiti, queste sono le cosiddette forme "indeterminate":

$$\bullet\quad \frac{0}{0}$$ $$\bullet\quad \frac{\infty}{\infty}$$ $$\bullet\quad \infty-\infty$$ $$\bullet\quad 0^{\infty}$$ $$\bullet\quad 0^0$$ $$\bullet\quad \infty^0$$ $$\bullet\quad 1^{\infty}.$$

Continuerà...

Ultima modifica: 9 Settembre 2024