### 100 Integrali Calcolati

Versione 0.9

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#### Integrale 01

\[ I=\int \frac{x^2}{x^2+2}\,dx = \int f(x)\,dx \] Trasformiamo \(f(x)\) \[ f(x)= \frac{x^2}{x^2+2}= \frac{x^2+2-2}{x^2+2}=\frac{x^2+2}{x^2+2}-\frac{2}{x^2+2}=1-\frac{2}{x^2+2}=1-g(x) \] con \[ g(x)=\frac{2}{x^2+2} \] Dividiamo \(g(x)\) (numeratore e denominatore) per 2 troviamo: \[ g(x)=\frac{1}{\frac{x^2}{2}+1} \] e poniamo \[ t=\frac{x}{\sqrt2} \Rightarrow x=\sqrt2t \Rightarrow dx=\sqrt2dt \] risulta \[ I=x- \sqrt2 \int \frac{dt}{t^2+1}=x-\sqrt{2}\, arctg\,t+C \]
R-001 \[ \boxed{I=x-\sqrt2\,arctg\frac{x}{\sqrt2}+C} \]

Verifica Numerica
Metodo di Simpson, intervallo [1,2]
I1 = 0.5193980336575953
--------------------------------------------------
Con funzione primitiva
I2 = 0.5193980336550234
--------------------------------------------------
Differenza = -0.000000000003

##### The Lorenz Equations

\begin{align} \dot{x} & = \sigma(y-x) \\ \dot{y} & = \rho x - y - xz \\ \dot{z} & = -\beta z + xy \end{align}

##### The Cauchy-Schwarz Inequality

\[ \left( \sum_{k=1}^n a_k b_k \right)^{\!\!2} \leq \left( \sum_{k=1}^n a_k^2 \right) \left( \sum_{k=1}^n b_k^2 \right) \]

##### A Cross Product Formula

\[ \mathbf{V}_1 \times \mathbf{V}_2 = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ \frac{\partial X}{\partial u} & \frac{\partial Y}{\partial u} & 0 \\ \frac{\partial X}{\partial v} & \frac{\partial Y}{\partial v} & 0 \\ \end{vmatrix} \]

##### The probability of getting \(k\) heads when flipping \(n\) coins is:

\[P(E) = {n \choose k} p^k (1-p)^{ n-k} \]

##### An Identity of Ramanujan

\[ \frac{1}{(\sqrt{\phi \sqrt{5}}-\phi) e^{\frac25 \pi}} = 1+\frac{e^{-2\pi}} {1+\frac{e^{-4\pi}} {1+\frac{e^{-6\pi}} {1+\frac{e^{-8\pi}} {1+\ldots} } } } \]

##### A Rogers-Ramanujan Identity

\[ 1 + \frac{q^2}{(1-q)}+\frac{q^6}{(1-q)(1-q^2)}+\cdots = \prod_{j=0}^{\infty}\frac{1}{(1-q^{5j+2})(1-q^{5j+3})}, \quad\quad \text{for $|q| < 1$}. \]

##### Maxwell's Equations

\begin{align} \nabla \times \vec{\mathbf{B}} -\, \frac1c\, \frac{\partial\vec{\mathbf{E}}}{\partial t} & = \frac{4\pi}{c}\vec{\mathbf{j}} \\ \nabla \cdot \vec{\mathbf{E}} & = 4 \pi \rho \\ \nabla \times \vec{\mathbf{E}}\, +\, \frac1c\, \frac{\partial\vec{\mathbf{B}}}{\partial t} & = \vec{\mathbf{0}} \\ \nabla \cdot \vec{\mathbf{B}} & = 0 \end{align}

Data la funzione $f(x)=x^2 ln(x)$, con $f(0)=0$. Studiare e rappresentare graficamente $f(x)$. Senza ulteriori calcoli, discutere l'esistenza delle soluzioni dell'equazione $ln(x) -\frac{k}{x^2}=0$ in funzione di $k$.
La retta $(t)$ tangente alla curva nel punto di ascissa non nulla interseca l'asse delle ordinate nel punto B. Calcolare l'area della parte di piano racchiusa tra la curva e la retta $(t)$ e l'asse delle ordinate con una precisione di 3 cifre dopo la virgola.
Calcolare il valore numerico dell'area usando Julia e confrontarlo con il vostro risultato. Conclusione.

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Ultima modifica: 10 Aprile 2023