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ANALISI MATEMATICA

### U05 - Integrali

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### U05.04 PROPRIETÀ DEGLI INTEGRALI

Di seguito si riportano le proprietà principali dell'operatore integrale.

#### Linearità

Siano $f$ e $g$ due funzioni continue definite in un intervallo $[a, b]$ e siano $\alpha ,\beta \in \mathbb{R}$. Allora: $$ \int_{a}^{b}[\alpha\, f(x)+\beta\, g(x)]\,\mathrm{d}x=\alpha \int_{a}^{b}\!f(x)\,\mathrm{d}x+\beta \int_{a}^{b}\!g(x)\,\mathrm{d} x. $$

#### Additività

Sia $f$ continua e definita in un intervallo $[a,c]$ e sia $b\in [a,c]$. Allora: $$ \int_{a}^{c}\!f(x)\,\mathrm{d}x = \int_{a}^{b}\!f(x)\,\mathrm{d}x + \int_{b}^{c}\!f(x)\,\mathrm{d}x. $$

#### Monotonia (o teorema del confronto)

Siano $f$ e $g$ due funzioni continue definite in un intervallo $[a, b]$ e tali che $f(x)\leq g(x)$ in $[a, b]$. Allora:

#### Valore assoluto

Tale teorema si potrebbe considerare come un corollario del teorema del confronto. Se $f$ è integrabile in un intervallo $[a, b]$ si ha: $$ \left|\int_{a}^{b}\!f(x)\,\mathrm{d}x\right| \leq \int_{a}^{b}\left|f(x)\right|\,\mathrm{d}x. $$

#### Teorema della media

Se $f:[a,b]\to \mathbb{R}$ è continua allora esiste $c \in (a,b)$ tale che: $$ {{1} \over {b-a}}\int_{a}^{b}\!f(x)\,\mathrm{d}x=f(c). $$

#### Integrale improprio

Un integrale improprio è un limite della forma: $$ \lim_{b \to \infty}\!\int_{a}^{b}\!f(x)\,\mathrm{d}x, \quad \lim_{a \to -\infty}\!\int_{a}^{b}\!f(x) $$ oppure: $$ \lim_{c \to b^-}\!\int_{a}^{c}\!f(x)\,\mathrm{d}x, \quad \lim_{c \to a^+}\!\int_{a}^{b}\!f(x) $$

#### Metodi di integrazione

L'integrazione di una funzione reale è un calcolo matematico di non semplice risoluzione generale. Il caso più semplice si ha quando si riconosce la funzione integranda essere la derivata di una funzione nota $\Phi$. In casi più complessi esistono numerosi metodi per trovare la funzione primitiva. In particolare, tra le tecniche più diffuse per la ricerca della primitiva dell'integranda sono queste due:

1. se l'integranda è il prodotto di due funzioni, l'integrazione per parti riduce l'integrale alla somma di una funzione e un altro integrale che può ricondursi al caso più semplice descritto sopra in cui l'integranda è la derivata di una funzione nota;
2. se l'integranda è trasformazione di una derivata nota attraverso una qualche funzione derivabile, l'integrazione per sostituzione riporta il calcolo all'integrale di quella derivata nota, modificato per un fattore di differenziabilità che dipende dalla trasformazione in gioco.

Continuerà...

Ultima modifica: 9 Settembre 2024