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ANALISI MATEMATICA

### U05 - Integrali

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### U05.05 ESEMPIO DI CALCOLO

#### Esempio N.1

\[ I=\int \frac{x^2}{x^2+2}\,dx = \int f(x)\,dx \] Trasformiamo \(f(x)\) \[ f(x)= \frac{x^2}{x^2+2}= \frac{x^2+2-2}{x^2+2}=\frac{x^2+2}{x^2+2}-\frac{2}{x^2+2}=1-\frac{2}{x^2+2}=1-g(x) \] con \[ g(x)=\frac{2}{x^2+2} \] Dividiamo \(g(x)\) (numeratore e denominatore) per 2 troviamo: \[ g(x)=\frac{1}{\frac{x^2}{2}+1} \] e poniamo \[ t=\frac{x}{\sqrt2} \Rightarrow x=\sqrt2t \Rightarrow dx=\sqrt2dt \] risulta \[ I=x- \sqrt2 \int \frac{dt}{t^2+1}=x-\sqrt{2}\, arctg\,t+C \]

R-001 \[ \boxed{I=x-\sqrt2\,arctg\frac{x}{\sqrt2}+C} \]

Verifica Numerica
Metodo di Simpson, intervallo [1,2]
$I_1$ = 0.5193980336575953
--------------------------------------------------
Con funzione primitiva
$I_2$ = 0.5193980336550234
--------------------------------------------------
Differenza = -0.000000000003

#### Esempio N.2

\[ I=\int sin^2\frac{x}{2}\,dx \] \[ cosx=cos2(\frac{x}{2})=cos^2\frac{x}{2}-sin^2\frac{x}{2}=1-2sin^2\frac{x}{2} \Rightarrow \] \[ sin^2\frac{x}{2}=\frac{1-cosx}{2}=\frac{1}{2}-\frac{cosx}{2} \Rightarrow \] R-074 \[ \boxed{ I=\frac{x}{2}-\frac{sinx}{2} + C } \]

#### Esempio N.3

\[ I=\int x^2lnx\,dx \] Integriamo per parti ponendo \[ du=x^2dx \Rightarrow u=\frac{x^3}{3} \] e \[ v=lnx \Rightarrow dv=\frac{dx}{x} \] \[ I=vdu=uv-\int udv \Rightarrow \] \[ I=\frac{x^3}{3}-\frac{1}{3}\int x^2\,dx=\frac{x^3\,lnx}{3}-\frac{x^3}{9} \] R-100 \[ \boxed{ I=\frac{x^3}{9}(3\,lnx-1) + C } \]

Ultima modifica: 9 Settembre 2024