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ANALISI MATEMATICA

### U03 - Derivate

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### U03.02 TEOREMI

In questa unità vediamo presentiamo alcuni teoremi e risultati significativi.

#### Teorema di Fermat

Sia $f(x)$ una funzione derivabile, e quindi continua, in un punto $x_0$ interno al dominio. Se $x_0$ è un punto di massimo o di minimo per la funzione $f$, allora la derivata della funzione in $x_0$ è nulla, cioè $f'(x_0)=0.$

Non è indispensabile che $x_0$ sia interno al dominio, essendo sufficiente che si tratti di un punto di accumulazione da destra e da sinistra per il dominio, mentre è essenziale porre che la funzione sia derivabile nel punto $x_0$ in quanto non è possibile dedurne la derivabilità dalle altre ipotesi del teorema. Ogni punto in cui $f'(x)$ si annulla, cioè è uguale a zero, è chiamato punto stazionario. I massimi e minimi relativi sono chiamati punti stazionari di $f'(x).$

Questo teorema è molto usato nello studio di funzione, in quanto definisce la possibilità di avere un punto di massimo o di minimo dove la funzione derivata si annulla.

#### Teorema di Rolle

Sia $f(x)$ una funzione continua nell'intervallo chiuso $[a,b]$ e derivabile nell'intervallo aperto $(a,b)$. Se $f(a)=f(b)$ allora esiste almeno un punto $x_0\in (a,b)$ dove la derivata prima $f'(x)$ si annulla.

Teorema di Rolle - Muovete i punti C e D e vedete come si trasforma la curva.

#### Teorema di Lagrange

Sia $f(x)$ una funzione continua in $[a,b]$ e derivabile nell'intervallo aperto $]a,b[$. Allora esiste almeno un punto $c \in ]a,b[$ tale per cui: $$ f'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a} $$

Il teorema afferma che esiste almeno un punto $]x_0,f(x_0)[$ del grafico della funzione in cui la retta tangente ha coefficiente angolare uguale a quello della corda della retta passante per i punti $]a,f(a)[$ e $]b,f(b)[$. Si tratta di una generalizzazione del teorema di Rolle che analizza il caso in cui $f(a)$ è diverso da $f(b).$

#### Teorema di Cauchy

Siano $f(x)$ e $g(x)$ funzioni continue in $[a,b]$ e derivabili in $]a,b[$ con $g'(x) \ne 0$ per ogni punto dell'intervallo. Allora esiste almeno un punto $x_0 \in ]a,b[$ tale per cui: $$ \frac{f'(x_0)}{g'(x_0)}=\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)} $$ Considerando in particolare la funzione $g(t) = t$, si ottiene l'affermazione del teorema di Lagrange.

Con il teorema di Cauchy è inoltre possibile dimostrare la regola di de l'Hôpital.

#### Monotonia a partire dalla derivata

Sia $f(x)$ continua in $[a,b]$ e derivabile in $]a,b[$. Allora:

$\bullet$ Per ogni $x \in ]a,b[$ si ha $f'(x) \geqslant 0$ se e solo se la funzione è crescente in $]a,b[.$

$\bullet$ Per ogni $x \in ]a,b[$ si ha $f'(x) \leqslant 0$ se e solo se la funzione è decrescente in $]a,b[.$

La funzione può non essere strettamente crescente (o decrescente), e il teorema è direttamente ricavabile dall'enunciato di Lagrange.

Analogamente, valgono anche i fatti seguenti:

$\bullet$ Se per ogni $x \in ]a,b[$ si ha $f'(x) > 0$, allora la funzione è strettamente crescente in $]a,b[.$

$\bullet$ Se per ogni $x \in ]a,b[$ si ha $f'(x) < 0$, allora la funzione è strettamente decrescente in $]a,b[.$

Una funzione strettamente crescente non ha necessariamente derivata ovunque positiva. Ad esempio, $f(x)=x^3$ è strettamente crescente, ma ha derivata nulla nell'origine, dove c'è un punto di flesso.

Il teorema della funzione costante afferma che una funzione è costante in un intervallo $[a,b]$ se e solo se è derivabile e la derivata è ovunque nulla nell'intervallo. Mentre la condizione necessaria è conseguenza della definizione di derivata (la derivata di una costante è uguale a zero), la sufficienza segue dal teorema di Lagrange.

#### Derivate di ordine superiore

La derivata $n-esima$ ($f^n$) di una funzione $f$ è la funzione che si ottiene derivando successivamente $n$ volte la funzione $f$. Si definiscono così la derivata seconda, terza, e così via; e si usa generalmente una delle seguenti notazioni: \begin{align*} f''&=f^{(2)}&=\frac{d^2f}{dx^2}\\ f'''&=f^{(3)}&=\frac{d^3f}{dx^3}\\ \vdots\\ f^n&=f^{(n)}&=\frac{d^nf}{dx^n} \end{align*}

$\class{note}{Nota}$ Una funzione derivabile non è necessariamente derivabile $n$ volte. Ad esempio, la funzione {$f(x) = x|x|$ ha una derivata prima, ma non una seconda. Infatti, la derivata di $f$ è $f'(x)=2|x|$, che non è a sua volta derivabile nell'origine.

La classe delle funzioni derivabili $n$ volte e la cui derivata $n-esima$ è continua si indica con $C^n$.

#### Convessità

Sia $f:[a,b]\to \mathbb{R}$. Allora $f(x)$ è convessa se e solo se $f'(x)$ è crescente in $[a,b]$. Se $f$ possiede derivata seconda, allora la convessità della funzione è data dalla disequazione: $$ f''(x)\geq 0. $$ Il cambiamento di segno della derivata seconda determina quindi un cambiamento di convessità della funzione e un relativo punto di flesso.

#### Significato geometrico della derivata

Il valore della derivata di $f(x)$ calcolata in $x_0$ ha un significato geometrico: è il coefficiente angolare della retta tangente alla curva rappresentata dal grafico di $f(x)$ nel punto di coordinate $(x_0,f(x_0))$. In altre parole, la derivata è il valore della tangente trigonometrica dell'angolo (convesso) che la retta tangente in $x_0$ al grafico della funzione forma con l'asse delle ascisse (a patto che tale angolo non sia retto).

L'equazione della retta tangente in $x_0$ risulta: $$ f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0). $$ Più precisamente, se $f(x)$ è derivabile nel punto $x_0$, allora esiste una funzione $o(x-x_0)$ definita in un intorno di $x_0$ tale che: $$ f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+o(x-x_0). $$ con: $$ \lim_{x\to x_0}\frac{o(x-x_0)}{x-x_0} $$ e tale formula è l'espansione di Taylor di $f(x)$ troncata al termine di primo grado. Si dice che $o(x-x_0)$ è un infinitesimo di ordine superiore alla funzione $(x-x_0)$, e con questo si vuole esprimere l'idea che il termine $o(x-x_0)$ fornisce un contributo che diventa trascurabile rispetto agli altri termini quando ci si avvicina a $x_0$. Si può anche dire che una funzione derivabile in $x_0$ è approssimabile linearmente intorno a $x_0$ con la sua retta tangente in tale punto.

Se si definisce infatti $o(x-x_0)$, avente lo stesso dominio di $f$, come: $$ \lim_{x\to x_0}\frac{o(x-x_0)}{x-x_0}=\lim_{x\to x_0}\Biggl(\frac{f(x-x_0)}{x-x_0}-f'(x_0)\Biggl). $$ Ricordando che per $x \to x_0$ allora $x-x_0 \to 0$, e quindi $h = x-x_0$. Sostituendo questa ultima uguaglianza con la precedente equazione si ha: $$ \lim_{h \to 0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h} - f'(x_0) = 0. $$

Continuerà...

Ultima modifica: Aprile 2026