🏠 Home Esempi

ANALISI MATEMATICA

### U05 - Integrali

⟵ Introduzione | Proprietà degli Integrali ⟶

### U05.03 FUNZIONI PRIMITIVE

Il problema inverso a quello della derivazione consiste nella ricerca di tutte le funzioni la cui derivata sia uguale a una funzione assegnata. Questo problema è noto come ricerca delle primitive di una funzione. Nel caso in cui $F$ sia una primitiva di $f$, cioè se $F'(x)=f(x)$ allora, poiché la derivata di una funzione costante è nulla, anche una qualunque funzione del tipo: $$ G(x)=F(x)+c $$ che differisca da $F(x)$ per una costante arbitraria $c$, risulta essere primitiva di $f(x)$. Infatti: $$ G'(x)=F'(x)+0=f(x). $$ Quindi, se una funzione $f(x)$ ammette primitiva $F(x)$ allora esiste un'intera classe di primitive del tipo: $$ G(x)=F(x)+c $$ Viceversa, tutte le primitive di $f(x)$ sono della forma $F(x)+c.$

#### Integrale indefinito

La totalità delle primitive di una funzione $f(x)$ si chiama integrale indefinito di tale funzione. Il simbolo: $$ \int \!f(x)\,\mathrm{d}x $$ denota l'integrale indefinito della funzione $f(x)$ rispetto a $x$. La funzione $f(x)$ è detta anche in questo caso funzione integranda. In un certo senso (non formale), si può vedere l'integrale indefinito come "l'operazione inversa della derivata". Tuttavia, da un punto di vista formale, la derivazione non è iniettiva e quindi non è invertibile e l'operatore integrale restituisce l’insieme delle primitive che o è vuoto oppure contiene infiniti elementi.

Ogni funzione continua in un intervallo ammette sempre integrale indefinito, ma non è detto che sia derivabile in ogni suo punto. Se $f$ è una funzione definita in un intervallo nel quale ammette una primitiva $F$ allora l'integrale indefinito di $f$ è: $$ \int \!f(x)\,\mathrm{d}x=F(x)+c $$ dove $c$ è una generica costante reale.

#### Funzione integrale

Sia $f\colon I\to \mathbb{R}$ una funzione definita su un intervallo $I=[a,b]$. Se la funzione è integrabile su ogni intervallo chiuso e limitato $J$ contenuto in $I$, al variare dell'intervallo $J$ varia il valore dell'integrale. Si ponga $J=[x_0,x]$, dove $x_0$ è fissato e l'altro estremo $x$ è variabile: l'integrale di $f$ su $J$ diventa allora una funzione di $x$. Tale funzione si dice funzione integrale di $f$ o integrale di Torricelli, e si indica con: $$ F(x)=\int_{x_0}^{x}\!f(t)\,\mathrm{d}t $$ La variabile di integrazione $t$ è detta variabile muta, e varia tra $x_0$ e $x$.

#### Teorema fondamentale del calcolo integrale

La prima parte del teorema è detta primo teorema fondamentale del calcolo, afferma che la funzione integrale (come sopra definita) $$ F(x)=\int_{a}^{x}\!f(t)\,\mathrm{d}t, \quad a \leq x \leq b $$ è una primitiva della funzione di partenza. Cioè: $$ F'(x)=f(x) $$ La seconda parte del teorema è detta secondo teorema fondamentale del calcolo, e consente di calcolare l'integrale definito di una funzione attraverso una delle sue primitive. $$ \int_{a}^{b}\!f(x)\,\mathrm{d}x=F(b) - F(a) $$ e tale relazione è detta formula fondamentale del calcolo integrale.

#### Lemma di derivazione degli integrali

Sia $I\subset \mathbb{R}$ un intervallo, $f: {\underset {(x,t)}{I}}{\underset {\mapsto}{\longrightarrow }}{\underset {f(x,t)}{\mathbb{R}}}$ funzione di classe $\mathcal{C}^1$ in $x$ e $\alpha ,\beta: I\longrightarrow \mathbb{R}$. Sia $\Phi:{\underset {x}{I}}{\underset {\mapsto }{\longrightarrow }}{\underset {\Phi(x)}{\mathbb {R}}}$ la funzione integrale di classe $\mathcal{C}^1$ definita come: $$ \Phi(x)=\int_{\alpha(x)}^{\beta(x)}\!f(x,t)dt \Rightarrow \Phi'(x)=f(x,\beta(x)).\beta'(x)-f(x,\alpha(x)).\alpha'(x)+ \int_{\alpha(x)}^{\beta(x)}\frac{\partial}{\partial x}\!f(x,t)dt. $$

Continuerà...

Ultima modifica: 9 Settembre 2024