Calcolare: \[ \lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 4}{x - 2} \]

Soluzione:
\[ \frac{x^2 - 4}{x - 2} = \frac{(x-2)(x+2)}{x-2} = x+2 \quad (\text{per } x \neq 2) \] \[ \lim_{x \to 2} (x+2) = 4 \] Quindi: \[ \boxed{4} \]

Calcolare: \[ \lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{1+x} - 1}{x} \]

Soluzione:
Moltiplichiamo e dividiamo per il coniugato: \[ \frac{\sqrt{1+x} - 1}{x} \cdot \frac{\sqrt{1+x} + 1}{\sqrt{1+x} + 1} = \frac{(1+x) - 1}{x(\sqrt{1+x} + 1)} = \frac{x}{x(\sqrt{1+x} + 1)} = \frac{1}{\sqrt{1+x} + 1} \] \[ \lim_{x \to 0} \frac{1}{\sqrt{1+x} + 1} = \frac{1}{1+1} = \frac{1}{2} \] \[ \boxed{\frac{1}{2}} \]

Calcolare: \[ \lim_{x \to 0} \frac{\sin(3x)}{x} \]

Soluzione:
Usiamo il limite notevole \(\lim_{t \to 0} \frac{\sin t}{t} = 1\): \[ \frac{\sin(3x)}{x} = 3 \cdot \frac{\sin(3x)}{3x} \] Poniamo \(t = 3x\), quando \(x \to 0\) anche \(t \to 0\): \[ \lim_{x \to 0} 3 \cdot \frac{\sin(3x)}{3x} = 3 \cdot 1 = 3 \] \[ \boxed{3} \]

Data la funzione: \[ f(x) = \begin{cases} \frac{x^2 - 1}{x - 1} & \text{se } x \neq 1 \\ 2 & \text{se } x = 1 \end{cases} \] \(f\) è continua in \(x = 1\)?

Soluzione:
Per \(x \neq 1\): \[ \frac{x^2 - 1}{x - 1} = \frac{(x-1)(x+1)}{x-1} = x+1 \] Calcoliamo il limite per \(x \to 1\): \[ \lim_{x \to 1} f(x) = \lim_{x \to 1} (x+1) = 2 \] Il valore della funzione in \(x=1\) è \(f(1)=2\). Poiché: \[ \lim_{x \to 1} f(x) = f(1) = 2 \] la funzione è continua in \(x=1\). \[ \boxed{\text{Sì, è continua}} \]

Classificare il tipo di discontinuità in \(x=0\) per: \[ f(x) = \frac{|x|}{x} \]

Soluzione:
\[ f(x) = \begin{cases} \frac{x}{x} = 1 & \text{se } x > 0 \\ \frac{-x}{x} = -1 & \text{se } x < 0 \end{cases} \] - Limite destro: \(\lim_{x \to 0^+} f(x) = 1\)
- Limite sinistro: \(\lim_{x \to 0^-} f(x) = -1\) I limiti destro e sinistro esistono finiti ma sono diversi, quindi la discontinuità è di prima specie (salto). In \(x=0\) la funzione non è definita, ma anche se la definissimo, il salto rimarrebbe. \[ \boxed{\text{Discontinuità di prima specie (salto)}} \]

Mostrare che l'equazione: \[ x^3 - 3x + 1 = 0 \] ammette almeno una soluzione reale nell'intervallo \((0,1)\).

Soluzione:
Sia \(f(x) = x^3 - 3x + 1\). La funzione è continua su \([0,1]\) (polinomiale). Calcoliamo: \[ f(0) = 0^3 - 3\cdot 0 + 1 = 1 > 0 \] \[ f(1) = 1 - 3 + 1 = -1 < 0 \] Poiché \(f(0) > 0\) e \(f(1) < 0\), per il Teorema dei Valori Intermedi esiste almeno un \(c \in (0,1)\) tale che \(f(c) = 0\). Quindi l'equazione ha almeno una soluzione in \((0,1)\). \[ \boxed{\text{Almeno una soluzione in } (0,1)} \]

Calcolare: \[ \lim_{x \to 0} \frac{\sin(2x) - \tan(x)}{x^3} \]

Soluzione:
Usiamo gli sviluppi asintotici per \(x \to 0\): \[ \sin(2x) = 2x - \frac{(2x)^3}{6} + o(x^3) = 2x - \frac{8x^3}{6} + o(x^3) = 2x - \frac{4x^3}{3} + o(x^3) \] \[ \tan(x) = x + \frac{x^3}{3} + o(x^3) \] Quindi: \[ \sin(2x) - \tan(x) = (2x - x) + \left(-\frac{4x^3}{3} - \frac{x^3}{3}\right) + o(x^3) = x - \frac{5x^3}{3} + o(x^3) \] Pertanto: \[ \frac{\sin(2x) - \tan(x)}{x^3} = \frac{x - \frac{5x^3}{3} + o(x^3)}{x^3} = \frac{1}{x^2} - \frac{5}{3} + o(1) \] Il termine \(\frac{1}{x^2}\) diverge, quindi il limite non esiste finito. In particolare: \[ \lim_{x \to 0} \frac{\sin(2x) - \tan(x)}{x^3} = -\infty \quad (\text{da entrambi i lati, poiché } 1/x^2 \to +\infty \text{ ma con segno negativo}) \] \[ \boxed{-\infty} \]

Calcolare: \[ \lim_{x \to 0^+} x \ln(x) \cdot \sqrt{x} \]

Soluzione:
Riscriviamo: \[ x \ln(x) \cdot \sqrt{x} = x^{1} \cdot x^{1/2} \cdot \ln(x) = x^{3/2} \ln(x) \] Per il limite notevole \(\lim_{x \to 0^+} x^\alpha \ln(x) = 0\) per ogni \(\alpha > 0\), con \(\alpha = \frac{3}{2} > 0\): \[ \lim_{x \to 0^+} x^{3/2} \ln(x) = 0 \] \[ \boxed{0} \]

Calcolare: \[ \lim_{x \to 0} (1 + 3x)^{\frac{1}{x}} \]

Soluzione:
Poniamo \(t = 3x\), allora \(x = t/3\) e quando \(x \to 0\), \(t \to 0\). \[ (1 + 3x)^{\frac{1}{x}} = (1 + t)^{\frac{1}{t/3}} = (1 + t)^{\frac{3}{t}} = \left[(1 + t)^{\frac{1}{t}}\right]^3 \] Per il limite notevole: \[ \lim_{t \to 0} (1 + t)^{\frac{1}{t}} = e \] Quindi: \[ \lim_{x \to 0} (1 + 3x)^{\frac{1}{x}} = e^3 \] \[ \boxed{e^3} \]

Calcolare: \[ \lim_{x \to \frac{\pi}{2}} (x - \frac{\pi}{2}) \tan(x) \]

Soluzione:
Poniamo \(t = x - \frac{\pi}{2}\), allora \(x = \frac{\pi}{2} + t\) e \(t \to 0\). \[ \tan(x) = \tan\left(\frac{\pi}{2} + t\right) = -\cot(t) = -\frac{\cos(t)}{\sin(t)} \] Quindi: \[ (x - \frac{\pi}{2}) \tan(x) = t \cdot \left(-\frac{\cos(t)}{\sin(t)}\right) = - \frac{t}{\sin(t)} \cdot \cos(t) \] Per \(t \to 0\): \[ \frac{t}{\sin(t)} \to 1, \quad \cos(t) \to 1 \] Quindi il limite è: \[ -1 \cdot 1 = -1 \] \[ \boxed{-1} \]

Determinare il valore del parametro \(k \in \mathbb{R}\) tale che la seguente funzione sia continua in \(x = 0\): \[ f(x) = \begin{cases} \frac{e^{2x} - 1}{\ln(1 + 3x)} & \text{se } x \neq 0 \\ k & \text{se } x = 0 \end{cases} \]

Soluzione:
Calcoliamo il limite per \(x \to 0\): \[ \lim_{x \to 0} \frac{e^{2x} - 1}{\ln(1 + 3x)} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{e^{2x} - 1}{x}}{\frac{\ln(1 + 3x)}{x}} = \frac{\lim_{x \to 0} \frac{e^{2x} - 1}{x}}{\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1 + 3x)}{x}} \] Sappiamo che: \[ \lim_{x \to 0} \frac{e^{2x} - 1}{x} = 2, \qquad \lim_{x \to 0} \frac{\ln(1 + 3x)}{x} = 3 \] Quindi: \[ \lim_{x \to 0} f(x) = \frac{2}{3} \] Per la continuità in \(x=0\) deve essere \(k = \lim_{x \to 0} f(x)\), quindi: \[ k = \frac{2}{3} \] \[ \boxed{k = \frac{2}{3}} \]

Calcolare (se esiste): \[ \lim_{x \to 0} \lfloor x \rfloor \cdot e^{1/x} \] dove \(\lfloor x \rfloor\) è la parte intera inferiore.

Soluzione:
Studiamo i limiti laterali. Per \(x \to 0^+\) (destra): \(x > 0\) piccolo, \(\lfloor x \rfloor = 0\), quindi: \[ \lim_{x \to 0^+} 0 \cdot e^{1/x} = 0 \] Per \(x \to 0^-\) (sinistra): \(x < 0\) piccolo, \(\lfloor x \rfloor = -1\) (per \(-1 \le x < 0\)), quindi: \[ \lim_{x \to 0^-} (-1) \cdot e^{1/x} \] Quando \(x \to 0^-\), \(1/x \to -\infty\), quindi \(e^{1/x} \to 0^+\). Pertanto: \[ \lim_{x \to 0^-} (-1) \cdot e^{1/x} = 0 \] I due limiti laterali coincidono e sono uguali a 0. Quindi il limite esiste ed è: \[ \boxed{0} \]

Calcolare: \[ \lim_{x \to +\infty} \left( \ln(x+1) - \ln(x) \right) \cdot x \]

Soluzione:
\[ \ln(x+1) - \ln(x) = \ln\left(\frac{x+1}{x}\right) = \ln\left(1 + \frac{1}{x}\right) \] Quindi: \[ \left( \ln(x+1) - \ln(x) \right) \cdot x = x \cdot \ln\left(1 + \frac{1}{x}\right) \] Poniamo \(t = \frac{1}{x}\), allora \(t \to 0^+\): \[ x \cdot \ln\left(1 + \frac{1}{x}\right) = \frac{1}{t} \cdot \ln(1 + t) = \frac{\ln(1+t)}{t} \] Per il limite notevole: \[ \lim_{t \to 0} \frac{\ln(1+t)}{t} = 1 \] \[ \boxed{1} \]